La paradoja del cumpleaños

La paradoja del cumpleaños es un problema estadístico que determina cuántas personas hace falta reunir para que al menos dos cumplan años el mismo día.

No es una paradoja en el sentido estricto, sino más bien una extraña curiosidad estadística, ya que solo presenta una respuesta contraintuitiva, y no una contradicción lógica.

• El enunciado: ¿Cuántas personas debe haber en una fiesta para que haya un 50 % de probabilidades de que al menos dos cumplan el mismo día?

• Calculemos la probabilidad de que, en una habitación con n personas, al menos dos cumplan años el mismo día, desechando los años bisiestos y las personas gemelas, y asumiendo que existen 365 cumpleaños que tienen la misma probabilidad. El truco es calcular primero la probabilidad de que n cumpleaños sean diferentes. La probabilidad de que ninguna persona cumpla años el mismo día viene dada por

  ${\displaystyle p={\frac {365}{365}}\cdot {\frac {364}{365}}\cdot {\frac {363}{365}}\cdots {\frac {365-n+1}{365}}}$

  porque la segunda persona no puede tener el mismo cumpleaños que el primero (364/365), la tercera persona no puede tener el mismo cumpleaños que las dos primeras (363/365), etc. Usando notación factorial, puede ser escrita como

  ${\displaystyle p=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {365!}{365^{n}(365-n)!}},&1\leq n\leq 365\\0,&365<n\end{array}}\right.}$

  Ahora, 1 - p es la probabilidad de que al menos dos personas tengan el mismo día de cumpleaños. Para n = 23 se obtiene una probabilidad de alrededor de 0,507.

  ${\displaystyle 1-p=\left\{{\begin{array}{ll}1-{\frac {365!}{365^{n}(365-n)!}},&1\leq n\leq 365\\1,&365<n\end{array}}\right.}$

  En contraste, la probabilidad que cualquiera en una habitación de n personas (excluido Ud.) tengan el mismo día de cumpleaños que usted está dada por

  ${\displaystyle 1-\left({\frac {364}{365}}\right)^{n}}$

  que para n = 22 sólo da alrededor de 0,059, y se necesitaría al menos una n de 253 para dar un valor superior a 0,5.

Es muy curioso que con muy poca gente reunida tanta gente puede coincidir en algo que parece tan dificil. Pero gracias a la estadistica sabemos que no es tan difícil como parece.